同步电机电磁特性

电机学习题整理¶

Problem 5-22:¶

A 200-MVA, 12-kV, 0.9-PF-lagging, 50-Hz, 20-pole, Y-connected water turbine generator has a per-unit synchronous reactance of 0.9 and a per-unit armature resistance of 0.1. This generator is operating in parallel with a large power system (infinite bus).

(a) What is the speed of rotation of this generator’s shaft?

(b) What is the magnitude of the internal generated voltage EA at rated conditions?

(d) What are the values of the generator’s synchronous reactance and armature resistance in ohms?

(e) If the field current is held constant, what is the maximum power possible out of this generator? How much reserve power or torque does this generator have?

(f) At the absolute maximum power possible, how much reactive power will this generator be supplying or consuming? Sketch the corresponding phasor diagram. (Assume IF is still unchanged.)

Solution¶

这题涉及的知识点比较多，大致有

电频率和转子转速的关系——同步电机工作原理
同步电机等效电路图和相量图
功角(torque angle) 和功率的关系
有功功率和无功功率

以下逐一介绍：

0. 同步电机是如何运行的¶

空载运行时，原动机拖动转子同步速运行（为了产生旋转磁场），转子励磁绕组通入直流电产生磁场（隐极产生阶梯波，近似为正弦，凸极产生矩形波），磁场相对定子转动，在定子绕组中感应三相对称电动势（为什么是三相对称？和绕组分布相关，回忆之前学的集中绕组），需要注意定子感应出电动势之后会在气隙里产生磁场，两者交联最终导致气隙磁场畸变。——可用时空矢量图描述。上面这段话简要描述了同步电机的运行方式，我们需要注意区分以下几个概念：

励磁绕组：即转子绕组，转子分隐极和凸极，两者绕组方式不同。
定子感应电动势：励磁绕组产生的磁场在定子中感应的电动势（一般是三相正弦），为了叙述方便，记为 $E$
$E$ 在气隙中感应的磁场：和励磁绕组感应磁场相交联，矢量叠加后形成最终的气隙磁场

即气隙总磁场=励磁绕组产生磁场+定子电动势产生磁场（称为电枢反应磁动势）转子电流——转子表面磁场——定子电动势——定子表面磁场——转子中感应电动势...

值得注意的是，$E$ 所感应的磁场会不会在定子中重新感应出电动势？会不会在转子中感应出电动势？答案：两个断言均是正确的，略微有点反直觉的地方在于定子似乎在切割自己产生的磁感线。问题在于：我们将最终的气隙磁场人为拆分为两个部分，但实际是一个“总”磁场。感应电动势即为谐波。

1. 电频率¶

\[ f=\frac{n}{60}p \]

其中 $n$ 为转速，单位是$r/min$, $p$ 为极对数，本题为$20/2=10$

2.同步电机等效电路图¶

很容易画，隐极同步电机，我们只需要考虑同步电抗$X_s=X_a+X_\sigma$ 和绕组阻抗 $R$，再加上题目要求的 $E_a$ ，即可。对于凸极同步电机，$X_s=X_d+X_q$, 其中 $X_d>X_q$ ，分别称为直轴同步电抗和交轴同步电抗。于是对于凸极电机，等效电路为 $E_a$ ，$X_d$, $X_q$ 和 $R$

3. 功角和功率¶

功角 $\delta$ 即为 $E_a$ 和 $V_{out}$ 的夹角，求解直接用相量图。需要注意，功率和功角的关系：

隐极电机

\[ P=\frac{3V_{\phi}E_a}{X_s}sin\delta \]

电机定子从电网侧吸收有效功率(若电机是发电机，则是释放有效功率)

\[ P=3V_{\phi}I_fcos\varphi={3RI^{2}_{f}}+{3E_a I_fcos \psi} \]

第一项为铜损，第二项为气隙损耗，其中 $\varphi$ 是阻抗角。

电机输出机械功率$P_m$ 包含在电机轴上输出的机械功率$P_m^{\prime}$ 以及各种摩擦损失功率$P_{loss}$ 有

\[ P_{m}=P_{m}^{\prime}+P_{R}=2\pi n_{0}M_{i}=\frac{M_{i}\omega_{S}}{p} \]

同步电机的旋转磁场的气隙功率和机械功率相等，则可以由上式求出转矩

\[ M_i=P_{max}sin(-\delta) \]

凸极电机同理，有

$$ P=\left(\frac{V_{\phi} E_a}{X_d}\cdot sin\left(-\delta\right)+\left(X_d-X_q\right)\frac{E_a^2}{2X_d X_q}\cdot sin\left(-2\delta\right)\right) $$

转矩

$$ M_i=\frac{p\cdot P_dS}{\omega_S}=\frac{3p}{\omega_S}\cdot\left(\frac{V_{\phi} E_a}{X_d}\cdot sin\left(-\delta\right)+\left(X_d-X_q\right)\frac{E_a^2}{2X_d X_q}\cdot sin\left(-2\delta\right)\right) $$