异步电机考点

1. structure - easy
2. slip - easy
3. torque, power - hard
4. equivalent circuit - hard
5. parameter and testing - hard

structure

鼠笼型和绕线型 绕线型：一般 鼠笼型：多个导体棒(conductor)首位短接，假设有 n 根棒，则 n 相 half turn.此即为多相半匝结构 $$ k_d=1\quad N=\frac{1}{2} $$

slip

\[ s=\frac{\omega_s-\omega_r}{\omega_s} \]

转子转速 $ n_r=(1-s)n_1 $ 转子感应电流电频率 $ f_e=s\cdot f_1 $ 转子基波磁动势 $ F_2 $ 相对于转子的转速：

\[ n_2=sn_1 \]

相对定子的转速 $ n_1 $

equivalent model

频率折合: 转子堵转代替以转差速 s 旋转的转子，使转子频率和钉子频率相同。

电压变比

\[ \frac{N_1k_{dp1}}{N_2k_{dp2}}=k_e \]

电流变比

\[ k_i=\frac{m_1}{m_2}k_e \]

参数

转速

定子的旋转磁场转速  \(\omega_s\) ，转子的机械转速 \(\omega_r\)   以及转差角速度\(\omega_s-\omega_r\)

主磁通

由励磁电流产生，主要取决于定子相电压

稳态运行时，

\[ U_1=E_1\propto f_1N_1\Phi_m \]

如果负载增大, 此时定子电压和频率不变

\[ I_{2s}\uparrow\space \longrightarrow I_1\uparrow\space \longrightarrow \Phi_m\downarrow \]

若转子堵转时，定转子电流都很大，$ \Phi_m $ 减小

漏磁通

基本上取决于磁导，和定子电频率，一般来说是常数

励磁电流 \(I_m\)

当磁通确定时，由

\[ F_0\Lambda=\Phi_m \]

定出 $ I_0$

事实上励磁电流是个比较模糊的概念，我们考虑如下的过程

\[ \frac{\tau_1}{\tau_2}=\frac{p_2}{p_1}=\frac{n_1}{n_2} \]

也即转矩和转速成正比，励磁电流和转速成反比。现在转速空载>额定>堵转，励磁电流则反之

转子相电压 \(E_2\)

\(E_2=I_2Z_2\)，分析转子电流即可。

气隙磁通

\[ B=\frac{E}{2\sqrt{2}fwkS} \]

工作状态

空载

空载时，转速接近于同步转速，也即$ s=0 $, 此时转子电流最小，定子电流最小，定子电压最大，

额定工况

此时转子电流较大，定子电流较大，定子电压较大，接近空载状态，转速较慢

堵转情况

不转，定子电流最大，转子电流最大，定子电压最小，主磁通较低，故励磁电流可忽略——励磁电抗基本上可以忽略

频率变化

当频率变化，定子电压、定子，转子电抗都会变。

功率

总共有如下几种功率参数:

1. $ P{in}=\sqrt{3}VI_{L}cos\theta$
2. 定子铜损\(P_{SCL}\)
3. 转子铜损\(P_{RCL}\)
4. 励磁损耗\(P_{core}\)
5. 摩擦损耗\(P_{fric}\)
6. 气隙功率\(P_{AG}\)
7. 机械功率\(P_{convert}\)
8. 输出功率\(P_{out}\)

我们需要关注的是输出功率、气隙功率和输入功率之间的关系，这点可以从等效电路看出来。

关系如下：

\[ \begin{align*} P_{in}&=P_{SCL}+P_{airgap}\\ &=P_{SCL}+P_{RCL}+P_{convert}\\ &=P_{SCL}+P_{RCL}+P_{rotation\space loss}+P_{out}\\ \end{align*} \]

我们还需要掌握具体的表达式

air-gap power

气隙功率为输入功率减去定子损耗，可以理解为能量从定子流入，流到气隙需要经过定子，因此就要减去定子的损耗。写成表达式就是

\[ P_{air-gap}=3I^2\frac{R_2}{s}=3I_{A}^2R_{eq} \]

这里的 \(I\) 指的是转子电流

convert power

这部分是气隙功率减去转子损耗，可以理解为直接流到转子转轴上即将输出的功率。表达式为

\[ P_{convert}=3I^2R_2\frac{1-s}{s} \]

功率的正推和倒推都要会，题目要么给输入，要么给输出，给输入好算，给输出（一般是以马力(hp)的单位给出，1 hp = 764kW), 就得会从上面的式子倒推

和转矩的关系

转矩有两种，induced torque \(\tau_{ind}\) 和 output torque \(\tau_{output}\)

其中

所谓的电磁转矩

\[ \begin{align*} \tau_{ind}&=\frac{P_{convert}}{\omega_{r}}\\ &=\frac{poles}{2\omega_e}\cdot\frac{mI_2^2R_2}{s} \end{align*} \]

\[ \tau_{out}=\frac{P_{out}}{\omega_{r}} \]

这里的 m 表示相数，三相即为 3. \(\omega_{r}\) 表示的是转子转速，和同步速率\(\omega_{s}\) 之间的关系是\(\omega_r=(1-s)\omega_s\)

电磁转矩的另一个表达式是

\[ T_{ind} =\frac{poles}{2\omega_e}\left[\frac{qV^2_{eq} R_2/s}{((R_{1,eq}+(R_2/s))^2+(X_{1,eq}+X_2)^2}\right] \]

最大转矩

\[ T_{ind} =\frac{poles}{2\omega_e}\left[\frac{0.5qV^2_{eq}}{\sqrt{((R_{1,eq}+(R_2/s))^2+(X_{1,eq}+X_2)^2}}\right] \]

\[ s_{\mathrm{maxT}}=\frac{R_2}{\sqrt{(X_{1,\mathrm{eq}}+X_2)^2+R_{1,eq}^2}} \]

启动转矩

\[ T_{ind} =\frac{poles}{2\omega_e}\left[\frac{qV^2_{eq} R_2}{((R_{1,eq}+R_2)^2+(X_{1,eq}+X_2)^2}\right] \]

转子电阻与调速

对于绕线式转子电动机，我们可以通过给转子外加电阻来调速。具体来说，如果需要大的启动转矩，采用适当的转子电阻值，可以使静止时产生最大转矩，而随着转子转速的上升，通过减小外加电阻，可以使整个加速过程都获得最大转矩。

例题如下：

A three-phase,460-V,60-Hz,four-pole,500-hp wound-rotor induction motor, with its slip rings short-circuited, has the following properties:

Full-load slip = 1.5 %

Rotor \(I^2R\) at full-load torque = 5.69 kW

Slip at maximum torque = 6 %

Rotor current at maximum torque = 2.82\(I_{2,fl}\) where \(I_{2,f1}\) is the full-load rotor current

Torque at 20 percent slip = 1.207\(T_{fl}\), where \(T_{\mathrm{fl}}\) is the full-load torque

Rotor current at 20 % slip = \(3.95I_{2,fl}\)

If the rotor-circuit resistance is increased to 5 R-or by connecting noninductive resistances

in series with each rotor slipring, determine

(a)the slip at which the motor will develop the same full-load torque

,(b) total rotor-circuit I R loss at full-load torque,

© horsepower output at full-load torque,

(d) slip at maximum torque,

(e) rotor current at maximum torque,

(f)starting torque

(g) rotor current at starting. Express the torques and rotor currents in per unit based on the full-load torque values.

我们需要知道：转子电阻变化产生的影响是根据归算后的电阻\(R_2/s\)来决定的。例如，转子 $R_2 $ 和转差率 \(s\) 都增大一倍，转子侧输出转矩不变，转子电流不变（因为转子功率因数不变，转子电压变大一倍，转子阻抗也变大了一倍），但是频率变了。由此可以计算各种参数。

例题：

A three-phase induction motor, operating at rated voltage and frequency, has a starting torque of 135 percent and a maximum torque of 220 percent, both with respect to its rated-load torque. Neglecting the effects of stator resistance and rotational losses and assuming constant rotor resistance, determine: a. the slip at maximum torque. b. the slip at rated load. c. the rotor current at starting (as a percentage of rotor current at rated load).

这里考虑的是 \(R_1\) 和 \(X_1\) 都是 0，那么转矩化简为

\[ T_{ind} =\frac{poles}{2\omega_e}\left[\frac{qV^2_{eq}}{\sqrt{(R_2/s)^2+X_2^2}}\right] \]

那么启动转矩和最大转矩之比为

\[ \begin{aligned} \frac{T_{max}}{T_{start}}=1.63=\frac{R_{2}^{2}+(X_{1,\mathrm{eq}}^{2}+X_{2})^{2}}{R_{2}(X_{1,\mathrm{eq}}+X_{2})}=\frac{\left(\frac{R_{2}}{X_{1,\mathrm{eq}}+X_{2}}\right)+1}{\frac{R_{2}}{X_{1,\mathrm{eq}}+X_{2}}} \\ \end{aligned} \]

由此可以解出 \(s_{maxT}\)

其次

\[ \frac{T_{\max}}{T_{\text{fl}}}=\frac{0.5[1+(s_{\max\mathrm{T}}/s_{\mathrm{fl}})^2]}{s_{\max\mathrm{T}}/s_{\mathrm{fl}}} \]

\[ \frac{T_{\text{start}}}{T_{\text{fl}}}=s_{\text{fl}}\left(\frac{1+(s_{\text{maxT}}/s_{\text{f}})^2}{1+s_{\text{maxT}}^2}\right) \]