傅里叶变换的一点整理
若干傅里叶变换和它们之间的关系
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连续傅里叶变换 FT——周期性连续信号
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傅里叶级数 FS——非周期性连续信号
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离散时域傅里叶变换 DTFT——周期性离散信号 4
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离散周期信号的傅里叶级数 DFS
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离散傅里叶变换 DFT——非周期性离散信号&FFT
FS
傅里叶级数是将连续信号与正交函数基做内积，投影到 n 维函数空间上，周期性会导致频率离散
变换式如下：
\[
a_n=\frac{T}{2}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)cos\space n\omega tdt
\]
\[
b_n=\frac{T}{2}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)sin\space n\omega tdt
\]
FT
常规的傅里叶变换
同 FT 的关系
直接对一周期信号 \(f(t)\) 做傅里叶级数展开
\[
f(t)=\sum F_ne^{jn\omega t}
\]
再做傅里叶变换
\[
\mathcal{f(t)}=2\pi\sum F_n\delta(\omega-n\omega_1)
\]
即周期信号的傅里叶变换是由脉冲信号组成的，离散，而且仍然周期。
原始信号：周期性的连续信号，频域信号：非周期的离散信号
DFS
\[
X_d(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x_d(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}
\]
\[
x_d(n)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}X_{d}(k)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}
\]
特点：
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时域周期，频域离散：各频率分量的周期之比是有理数
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时域离散，频域周期：离散复指数序列 \(e^{j\theta kn}\) 随 k 周期变化，则 \(x_d(n)\) 的投影也随 k 周期变化。
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偶实奇虚：
\[\begin{align*}
X_d(k)&=\sum_{n=0}^{N-1}x_d(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}\\
&=\sum_{n=0}^{N-1}x_d(n)cos(\frac{2\pi}{N}kn)-j\sum_{n=0}^{N-1}x_d(n)sin(\frac{2\pi}{N}kn)
\end{align*}\]
当\(x_d(n)\) 是偶函数，则 \(X_d(k)\) 为实函数，当\(x_d(n)\) 是奇函数，则 \(X_d(k)\) 为虚函数。
- 和 FS 的关系：
我们考虑一个连续周期信号 \(X_{continue}\)
第一步：求 \(X_{continue}\) 的傅里叶级数
\[
X_{ag}(k\omega)
\]
第二步：对 \(X_{continue}\) 抽样，求抽样信号的 DFS
\[
X_d(k)=\sum_{n=0}^{N-1}x_d(n)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}
\]
第三步：
求 \(X_{continue}\) 的傅里叶变换，找 \(X_{ag}\) 满足的式子
\[
X_{a}(\omega)=2\pi\sum_{k=-\infty}^{\infty}X_{ag}(k\omega_1)\delta(\omega-k\omega_1)
\]
第四步：对 \(X_{continue}\) 冲激抽样，求其傅里叶级数，得到
\[
X_{arg}(k\omega_1)=\frac{1}{T_1}X_{dg}(k)\quad\text{FS}[x_{ax}(t)]=\frac{1}{T_1}\text{DFS}\left[x_{d}(n)\right]
\]
DTFT
从 z 变换引出较为容易
\[
X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)e^{-jn\omega}\\
x(n)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}X(e^{j\omega})e^{jn\omega}d\omega
\]
z 变换
\[
X(z)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)z^{-n}\\
x(n)=\frac{1}{2\pi i}\int X(z)z^{n-1}
\]
只消记住
\[
\mathcal{Z}(u_d(n))=\frac{z}{z-1}
\]
逆 z 变换，三种办法，留数、长除法和部分分式展开。留数比较简单。
性质：
线性叠加
线性叠加之后，收敛域可能变大
\[
\begin{gathered}
{\mathscr{Z}}[ax(n)+by(n)]=aX(z)+bY(z) \\
(R_1<|z|<R_2)
\end{gathered}
\]
位移
双边 z 变换
\[
\mathscr{Z}(x(n-m))=z^{-m}X(z)
\]
单边 z 变换
右侧
\[
\mathscr{Z}\big[x\left(n-m\right)u\left(n\right)\big]=z^{-m}\Big[X\left(z\right)+\sum_{k=-m}^{-1}x\left(k\right)z^{-k}\Big]
\]
左侧
\[
\mathscr{Z}\big[x\left(n+m\right)u\left(n\right)\big]=z^{-m}\Big[X\left(z\right)-\sum_{k=0}^{m-1}x\left(k\right)z^{-k}\Big]
\]
微分
\[
\mathcal{Z}\big[nx\left(n\right)\big]=-z\frac{\text{d}}{\text{d}z}X\left(z\right)
\]
终值定理
\[
\begin{aligned}
& X(z)={\mathcal{L}}[x(n)]=\sum_{n=0}^{\infty}x(n)z^{-n} \\
&\lim\limits_{n\to\infty}x(n) =\lim\limits_{z\to1}[(z-1)X(z)]
\end{aligned}
\]
条件是：当 \(n\to \infty\) 时，\(x(n)\) 收敛，换句话说，\(X(z)\) 的极点在单位圆内，或者只能在 \(z=\pm 1\) 且为 1 阶极点。